Sesión teórica tema 8: Medidas de tendencia central, posición y dispersión. Distribución normal, asimetría y curtosis.

Además de las tablas y gráficos podemos resumir una serie de observaciones mediante “estadísticos”: “Función de los datos observados”. Solo se aplican a variables cuantitativas continuas.

Hay tres grandes tipos de medidas estadísticas:

- Medidas de posición o cuantiles: dan idea de la magnitud, tamaño o posición de las observaciones de los datos una vez que están ordenados de menor a mayor.

- Medidas de tendencia central: dan idea del comportamiento central de los sujetos.

- Medidas de dispersión o variabilidad: dan información acerca de la heterogeneidad de los sujetos, es decir, si son muy diferentes entre sí o no.

Medidas de tendencia central

• Media aritmética o media: Se calcula para variables cuantitativas y se trata del centro geométrico o de gravedad de nuestros datos. Es la suma de todos los valores de la variable observada entre el total de observaciones.

La fórmula es: 

Cuando los datos están agrupados (dos intervalos), para calcular la media utilizamos como valor de referencia de cada intervalo su marca de clase: se calcula una media aritmética ponderada que se calcula sumando la marca de clase por la frecuencia absoluta, entre N.

x= Ʃmc (marca de clase)fi /n (multiplicamos la marca de clase por la frecuencia absoluta y vamos sumando, luego dividimos entre el numero de sujetos) 

• Mediana: Es el valor de la observación tal que deja a un 50% de los datos menor y otro 50% de los datos mayor.

- Si el número de observaciones es impar el valor de la observación será justamente la observación que ocupa la posición (n+1/2) 

Ejemplo: si son 75, pues 76 entre 2 = 38, la mediana seria la edad que tiene el sujeto 38.

- Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana corresponde a la media entre los dos valores centrales, es decir, la media entre la observación n/2 y la observación (n/2)+1. 

Ejemplo: cuatro sujetos de edades, 10, 15, 20, 25, cogemos los dos sujetos centrales y hacemos la media aritmética entre ambos.

• Moda: Es el valor con mayor frecuencia (que más veces se repite). 

Si hay más de una se dice que la muestra es bimodal (dos modas) o multimodal (más de dos modas). Se puede calcular para cualquier tipo de variable tanto la cualitativa como la cuantitativa. 

Si los datos están agrupados, se habla de clase modal y corresponde al intervalo en el que el cociente entre la frecuencia relativa y la amplitud (se resta el intervalo mayor menos el menor) es mayor (hi/ci). Donde la frecuencia absoluta sea mayor.

Medidas de posición o cuantiles

Se calculan para variables cuantitativas y, al igual que la mediana, sólo tienen en cuenta la posición ordenado de mayor o menor de los valores en la muestra.

Los cuantiles más usuales son los percentiles, los deciles y los cuartiles, según dividan la muestra ordenada en 100 (percentiles), 10 (deciles) ó 4 partes (cuartiles), respectivamente.

• Percentiles:

o Dividen la muestra ordenada en 100 partes.

o El percentil “i” (Pi), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i% de ellas son menores que él y el (100-i) % restante son mayores.

o Para buscar la posición de un percentil en una serie de datos agrupados, buscamos el intervalo en el que la frecuencia relativa acumulada (Hi) sea superior al valor del percentil.

o El valor del P50 corresponde al valor de la mediana.

• Deciles: 

o Dividen la muestra ordenada en 10 partes.

o El decil “i” (Di), es aquél valor que, ordenadas las observaciones en forma creciente, el i/10% de ellas son menores que él y el (100-i)/10% restante son mayores.

o El valor del D5 corresponde al valor de la mediana y, por tanto, al del P50.

• Cuartil:

o Dividen la muestra ordenada en 4 partes.

o El Q1, primer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 25% de las observaciones son menores y que el 75% son mayores.

o El Q2, segundo cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 50% de las observaciones son menores y que el 50% son mayores. Por tanto, el Q2 coincide con el valor del D5, con el valor de la mediana P50.

o El Q3, tercer cuartil indica el valor que ocupa una posición en la serie numérica de forma que el 75% de las observaciones son menores y que el 25% son mayores.

o El Q4, cuarto cuartil indica el valor mayor que se alcanza en la serie numérica.

A continuación, dejo un enlace para el cálculo de cuartiles, deciles y percentiles: https://www.youtube.com/watch?v=8zH1AJJdjpc 

Medidas de dispersión o variabilidad

Estas medidas la iremos viendo con el siguiente ejemplo: 

- Serie 1: 18,19,20,21,22.

- Mediana serie 1=20, Media serie 1=20

- Serie 2: 9,14,20,27,30.

- Mediana serie 2=20, Media serie 2=20

¿Qué es lo que diferencia a una de otra? La dispersión.

• Rango o recorrido: 

Diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra.

- R1=22-18=4

- R2=30-9=21 (esto ya nos indica que la serie 2 tiene más dispersión). Hay hasta 21 años de diferencia.

• Desviación media: Sumatorio de las diferencias de cada observación con respecto a la media

 Para datos agrupados:

Por término medio, en la serie 1, las observaciones se diferencian de la media en 1,2 años.

• Desviación típica o estándar: Cuantifica el error que cometemos si representamos una muestra únicamente por su media. Esta es la que más se emplea debido a que esta nos da un mayor rango de error.
  
  
  

Para datos agrupados:



Si te quedas solo con la media de edad: en el 1º, sólo te equivocas 1,58 años, pero en el 2º te equivocas 8,74.

• Varianza: Expresa la misma información en valores cuadráticos

Para datos agrupados:

• Recorrido intercuartílico: 

Diferencia entre el tercer y el primer cuartil

• Coeficiente de variación: Es una medida de dispersión relativa (adimensional) ya que todas las demás se expresan en la unidad de medida de la variable. Nos sirve para comparar la heterogeneidad de dos series numéricas con independencia de las unidades de medidas. Se expresa sin unidades. El C.V. siempre va de 0 a 1.

C.V.1=1,58/20=0,079 

C.V.2=8,74/20=0,44   

Serie 1 = 7,9% de variabilidad.

Serie 2 = 44% de variabilidad (al ser más mayor, es más heterogéneo)

Distribuciones normales

En estadística se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. Es Distribución de probabilidad más frecuente con variables continuas.
Las distribuciones normales en un histograma aparece una especie de Campana, por eso la campana de Gauss. Y es simétrica respecto de los valores de posición central, es decir que la moda va a coincidir con la media y la mediana.

Una distribución normal sigue estos principios básicos: si al valor de la media le restamos y le sumamos una desviación típica, si la serie numérica siguiera una distribución normal (como el colesterol). Dice que el 68.25% de las observaciones se va a sumar entre los valores de la suma y la resta de la media a una desviación típica. Estas datos varían si sumamos una, dos o tres desviaciones típicas.

- S 68,26% de las observaciones.

- 2xS95,45% de las observaciones.

- 3xS 99,73% de las observaciones.



 Asimetría y Curtosis

La asimetría es al lado contrario al que vemos el pico (la moda), es decir si vemos el pico hacia la derecha la asimetría es a la izquierda, y si la moda esta a la izquierda la asimetría esta hacia la derecha.


- g1=0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media).

- g1>0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda).

- g1<0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha).

La curtosis no tiene relación con la asimetría. El Coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable, sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno a su media. Los datos se acumulan mucho, mientras mas se acumulen, mas apuntada esta la curva.

- g2=0 (distribución mesocúrtica o normal). Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).

- g2>0 (distribución leptocúrtica). Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

- g2<0 (distribución platicúrtica). Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.